極限の強弱の証明　〜その３〜　思案

　目的は、 が成り立つことを証明するために、不等式を作ることである。すなわち、ある程度 が大きいところで、

　　　　　　かつ　　

　を満たす関数 を見つけなくてはならない。

　いろんな人を巻き込んで考えたがその作業は予想外に難航し、最終的に を見つけたのは筆者であった。筆者がどのように考えたか次に示してみるが、結構紆余曲折している。

　上のような をいきなり見つけるのは難しいだろう。そこでまずは分母の のことは考えず、

　　　　　・・・　(1)

　を満たす関数 を見つけてみよう。ただし 自身は単調増加で であるから、

　でなければならない。

　しかも(1)式の辺々を で割ることにより得られる不等式

　においてはさみうちにできるためには、

　でなければならない。

　さて、とりあえず として最も簡単そうな関数は、

　　　　　（ は実数）

　のような関数であろう。なぜならば、

　のように、 の値によって極限がいろいろと変わるからである。

　このように をおくとき、

　であるから、

　　　　　となるためには、

　　　　　となるためには、　すなわち

　　　　まとめて、　

　が成り立たなければならない。

　ということはこれを満たす として、たとえば をとり、

　とすればよいのではないだろうかと考えてみた。

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