や 
の成分を求めることはできるから、イマセン第22回 ベクトルをつなぐ 〜その２〜
どちらの問題についても、いきなり点 P の座標を求めることはできない。
その代わり や の成分を求めることはできるから、
と考えて、点 P の座標を求めよう。これがタイトルにもある「ベクトルをつなぐ」ということだ。
その１でヒントにあげたとおり、それぞれのベクトルの成分を求めるには「絶対値」と「偏角」を正確に読み取らないといけない。その作業もけっこう大変だから、ゆっくりやっていこう。
解答１． 
， 
解説１．
まず 
について、このベクトルの絶対値は 1 ，偏角は 
であるから、
である。これはすぐに読み取れてほしい。
問題は 
である。まず絶対値の方は、「たわむことなく糸がほどける」という条件により
(線分 QP の長さ) = (弧 AQ の長さ)
であり、円の半径は 1 だから、(弧 AQ の長さ) = 
= 
である。よって 
の絶対値は 
である。
次に偏角についてだが、上の図にあるように、点 Q を通り 
軸に平行な直線 
を引こう。
と 
とのなす角が 
の偏角である。
まず平行線の同位角の性質より、
(直線 OQ と 
とのなす角) = 
= 
である。一方円の接線の性質より、
(直線 OQ と直線 QP のなす角) = 
である。したがって、
の偏角は 
である。
以上より、
である。
よって、
すなわち
， 
である。
ちなみにこのような点 P のえがく図形を involute という。日本語で言えば「伸開線（しんかいせん）」だ。読んで字のごとく、巻きつけた糸をほどいたときの、糸の端の軌跡だ。下の図では、糸を１周分ほどいたときの involute の概形を示した。
ありがちな入試問題としては、ここでやったように involute の媒介変数表示を求めた後、いろいろな部分の面積を求める、というのが多い。
筆者の調べた限りでは、この曲線を題材にした最近の入試問題としては、
01芝浦工業大、03早稲田大、04金沢大（後期）、05北九州市立大
と、かなりの数に上る。
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