極限の強弱の証明　〜その２〜　検索

　強弱の関係自身を証明させる入試問題も、毎年多く出題される。たとえば次のようなものがある。

　入試出題例１　　京都工繊大（設問一部省略）

　　 のとき が成り立つことを示し、これを利用して が成り立つことを示せ。

　入試出題例２　　武蔵工業大（設問一部省略）

　　(1)　 のとき が成り立つことを証明せよ。
　　(2)　 を求めよ。

証明する方法は決まっていて、

　[1]　不等式が成り立つことを、微分を用いて証明する。
　[2]　[1]で示した不等式を用いて、はさみうちの原理を利用する。

である。上記の例に[2]を実際に用いてみると次のようになる。（[1]の証明はここでは省略する）

例１　 とするので、 で考えてよい。このとき証明した不等式は とできる。

　　　この不等式の辺々を で割ると、 であり、

　　　  であるから、はさみうちの原理より が成り立つ。

例２　まず であることから、証明した不等式は　 とできる。

　　　さらにこの不等式において すなわち とおくと、 のとき であるから、

　　　　　　　　　　　　　　　（両辺を 倍した）

　　ここで のとき であり、 であるから、

　　はさみうちの原理より すなわち、 が成り立つ。

　このように入試問題では、はさみうちにするための不等式があらかじめ与えられているので、安心してそれを用いて証明すればよい。

　そして の証明方法も、流れ自体はこれと変わらないはずである。

　ところが今回は、その不等式すら与えられていないわけだから、まずそこから作り出すしかない。

　これが意外と難しい作業だった。質問に来た本人だけでなく、その場にいた個別指導担当の大学生や、周りにいた生徒たちも巻き込んでいろいろ考え始めた（・・・巻き込まれた人たちにはさぞ迷惑な話であっただろう(^^;)）。

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