反転の問題　～その３～

　まず反転の性質(2)

　　　O を通らない直線は、O を通る円に移る

　を証明しよう。そこで(★)における点 P0 を、O からに下ろした垂線の足とし、O からまでの距離（垂線の長さ）をとする。このとき点 P が直線上のどこにあっても、つねに、∠OQQ0 =∠OP0P が成り立つ。

　したがって円周角の定理の逆により、点 Q は線分 OQ0 を直径とする円周上に存在する。

　さらに OP の長さが長くなるほど、OQ の長さは短くなるが、Q が O に一致することはない。したがって点 Q の軌跡は、線分 OQ0 を直径とする円周から、点 O を除いた図形である。

　この証明をするに至った筆者の思考の流れは、

　(1)　「軌跡が円である」ことを図形的に示すには、ほぼ円周角の定理の逆を利用することになるだろう。
　　　そこである点 Q0 が存在して、∠OQQ0 がいえるのではないだろうか。
　　　これが示せれば、円周角の定理の逆から、点 Q が線分 OQ0 を直径とする円周上を動くといえる。

　(2)　おそらく(★)が成り立ちそうな気がする（事実成り立つことが証明できた）。
　　　そこで、上の点 P，P0 に対して、∠OP0P を満たす点 P0 を考えてみることにしよう。

　(3)　P0 を、O からに下ろした垂線の足とすればよさそうだ。

　・・・というようなものである（実際はもう少し紆余曲折しているが^^;)）。

　さてそうすると反転の性質(3)もこれと逆の流れで証明できるはずだから、ここでは省略する。

　したがって、次は反転の性質(4)を証明することにしよう。