番外編 場合の数の使い分け(補足)
その2における、「りんご・みかん・ぶどうがたくさんあり、5つの果物入りの箱を作る(使わない果物があってもよい)」について、その場合の数は、
「同じ5個の○と、2本の仕切り|を一列に並べる」・・・(*)
として、 通りと計算した。
だが、「なぜこれでよいのか」という理由について、もう少し詳しく考えてみよう。このページはイマセン読者の方によりいただいたメールからできたものです。
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たとえばその果物が、「りんご2個・みかん3個」としよう。
以下、りんごを●、みかんを△で表すことにする。今は●・●・△・△・△の計5個があるということになる。これらを一列に並べる方法はたくさんある。少し挙げてみよう。
●●△△△ ・・・(a)
●△●△△
●△△●△
●△△△●
△●●△△
・・・
△△△●●
だが、どれも「りんご2個・みかん3個」であることには変わりはない。
なので特に(a)だけを数えて「1通り」とする。この(a)が、21通り中の1通りにあたる。
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今度は5個の果物を、「りんご2個・みかん2個・ぶどう1個」としよう。
ぶどうを◎で表すことにする。今は●・●・△・△・◎の計5個があるということになる。並べてみると、
●●△△◎ ・・・(b)
●△●△◎
●△△●◎
△●●△◎
・・・
△●◎●△
・・・
◎△△●●
などがあるが、どれも「りんご2個・みかん2個・ぶどう1個」なので、特に(b)をだけを数えて「1通り」とする。
これが、21通り中の、また別の1通り。
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したがって5個を一列に並べたとき、「左から順に、りんご(●)・みかん(△)・ぶどう(◎)と並んでいる」ものだけに注目し、これが何通りあるかさえ数えられればよい。これは、
「同じ5個の○と、2本の仕切り|を一列に並べる」・・・(*)
ことに、次のように対応する。
(a) ●●△△△ → ○○|○○○|
(b) ●●△△◎ → ○○|○○|○
(a)は仕切りにより、○が2個・3個・0個に分けられ、左からりんご・みかん・ぶどうの個数を表す。(b)も同様に、2個・2個・1個。
したがって、(*)の場合の数と、果物の選び方の場合の数は、一致する。
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