第1回 定積分と不等式 〜その４〜
問題２ ジョルダンの不等式の利用（大阪教育大）
(1) \( \displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \) に対して，\( \displaystyle e^{-x} \leq e^{-\sin x} \leq e^{-\frac{2x}{\pi}}\) を示せ．
(2) \( \displaystyle 1-\frac{1}{e} < \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\sin x} dx < \frac{\pi}{2} \left( 1-\frac{1}{e} \right) \) を示せ．
これも，考え方のみ示す．
＜考え方＞
この問題は(2)が本番であるが，それを示すための不等式を(1)で与えてあるので，楽である．(2)は，(1)で示した式の辺々を \( \displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \) で積分すれば終わりである．ただし，(1)の不等式は恒等的に成り立つわけではないので，積分した際に不等号から等号を取り除くことができる．さらに左側については，
\( \displaystyle \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-x} dx = \left[ -e^{-x} \right]_0^\frac{\pi}{2} = 1 -\frac{1}{e^\frac{\pi}{2}} > 1 - \frac{1}{e} \)
のように，もう一段階ゆるく評価することになることにも注意しよう．
(1)を示すには，\( \displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \) において
\( \displaystyle \frac{2}{\pi}x \leq \sin x \leq x \ \cdots \ (*) \)
が示せればよい．そうすれば辺々に \( -1 \) をかけて，「\( e \) の肩に乗せる」だけである．
不等式 \( (*) \) をジョルダンの不等式といい，これは下図のようにグラフを描いて示す．それだけでよい．
原題では(1)の前に
\( \displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \) に対して，\( \displaystyle \sin x \leq x \) を示せ．
という問いがあった．微分法を使えということであろうが，厳密にいうとジョルダンの不等式を認めた後に \( \left( \sin x \right)' = \cos x \) が導かれるため，微分法を用いると循環論法になってしまう．
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