第1回 定積分と不等式 〜その５〜
問題３ 接線と割線の利用（お茶の水女子大）
\(a,\ b\) を実数とし，\(a<b\) とする．関数 \(f(x)\) は閉区間 \([a,\ b]\) で連続，開区間 \((a,\ b)\) で少なくとも2回微分可能で，\(f''(x) \geq 0\) とする．
(1) \(a<c<b\) とする．\(y=g(x)\) を点 \((c,\ f(c))\) における \( y=f(x) \) の接線とする．\(a \leq x \leq b\) のとき，\(g(x) \leq f(x)\) を示せ．
(2) \(y=h(x)\) を，\((a,\ f(a))\)，\((b,\ f(b))\) の2点を通る直線とする． \(a \leq x \leq b\) のとき，\(h(x) \geq f(x)\) を示せ．
(3) \(a<c<b\)
とする．
\( \displaystyle \frac{1}{2}(b-a)(f'(c)(a+b-2c)+2f(c)) \leq \int_a^b f(x)dx \leq \frac{1}{2}(f(a)+f(b))(b-a)\)
を示せ．
(4)\( \displaystyle \frac{\pi}{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \leq \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\cos x} dx \leq \frac{\pi}{4} \left(1+\frac{1}{e} \right) \)
を示せ．
＜考え方＞
(1)(2) \( y=f(x) \ \ (a \leq x \leq b) \) のグラフは「下に凸」であるから，
● 接線をどこで引いても，接線はグラフの上側にあることはない．
● 両端を通る直線は，グラフの下側にあることはない．
そのことは図形的にわかるが，ここでは式で示す流れを考えてみよう．ポイントは，
\( a \leq x \leq b \) において常に \( F(x) \geq 0 \) ⇔ \( a \leq x \leq b \) における \( F(x) \) の最小値が0以上
という言いかえをすることだ．
(1) 点 \((c,\ f(c))\) における \( y=f(x) \) の接線の方程式は
\( \displaystyle y=f'(c) (x-c) +f(c) \)
であるから，
\( \displaystyle g(x)=f'(c) (x-c) +f(c) \)
である．そこで，
\( \displaystyle G(x) = f(x)-g(x) = f(x) - \left\{ f'(c)(x-c) +f(c) \right\} \ \ \ (a \leq x \leq b) \)
とおくと，
\( \displaystyle G'(x) = f'(x) - f'(c) \)
である．
● \( \displaystyle G'(c) = 0 \) であること
● \( \displaystyle G''(x) = f''(x) \geq 0 \) により，\( G'(x) \) は（広義）単調増加であること
から，\( G'(x)=0 \) の解は \( x=c \) のただ1つであり，その前後で \( G'(x) \) の符号は負から正に変わる．
増減表を描いてみると，\( G(x) \) は \( x=c \) のときに最小となるとわかり，その最小値は，
\( \displaystyle G(c) = f(c) - \left\{ f'(c)(c-c) +f(c) \right\} =0 \)
である．したがって，\(a \leq x \leq b\) のとき，\(g(x) \leq f(x)\) であることが示された．（終）
(2) \((a,\ f(a))\)，\((b,\ f(b))\) の2点を通る直線の方程式は，
\( \displaystyle y = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a) \)
であり，この右辺を整理することにより，
\( \displaystyle h(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}x + \frac{bf(a)-af(b)}{b-a} \)
である．そこで，
\( \displaystyle H(x) = h(x) -f(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}x + \frac{bf(a)-af(b)}{b-a} -f(x) \)
とおくと，
\( \displaystyle H'(x) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} -f'(x) \)
である．平均値の定理より，
\( \displaystyle f'(d) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \) …(a) かつ \( \displaystyle a<d<b \) …(b)
を満たす \( d \) が少なくとも1つ存在する．
● この \( d \) に対して，\( \displaystyle H'(d) = 0 \) であること
● \( \displaystyle H''(x) = -f''(x) \leq 0 \) により，\( H'(x) \) は（広義）単調減少であること
から，\( H'(x)=0 \) の解は \( x=d \) のただ1つであり，その前後で \( H'(d) \) の符号は正から負に変わる．
増減表を描いてみると，\( H(x) \) が最小になるのは \( x=a,\ b \) のいずれかのときとわかり，
\( \displaystyle H(a) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}a + \frac{bf(a)-af(b)}{b-a} -f(a) =0 \)
\( \displaystyle H(b) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}b + \frac{bf(a)-af(b)}{b-a} -f(b) =0 \)
により，最小値は0である．したがって，\(a \leq x \leq b\) のとき，\(h(x) \geq f(x)\) であることが示された．（終）
ちなみに，曲線と2点以上で交わる直線を，その曲線の「割線（かっせん）」というらしい．
この問題の(2)での直線 \( y = h(x) \) は，曲線 \( y = f(x) \) の割線ということになる．
長くなってしまったので，続きは次のページで．
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