第1回 定積分と不等式 〜その３〜
問題１(2) 漸化式を利用する
\(n\) を自然数として，
\( \displaystyle a_n = \int_0^1 x^n e^x dx \)
とする．次の不等式を示せ．
(2) \( \displaystyle \frac{e}{n+2} < a_n < \frac{e}{n+1} \) （京都産業大）
ここでは，考え方を示すにとどめる．解答は各自作ってほしい．
＜考え方＞
示すべき不等式の右側は(1)と同じなので，その考え方を使えばよい．ところが左側はそうはいかない．
この問題の \( \{ a_n \} \) のように，定積分を用いて一般項が表された数列は，漸化式を作るとよい．ほとんどの場合，その方法は部分積分法である．
ここでは，\( a_{n+1} \) と \( a_n \) の関係を求めてみよう．
\( a_{n+1} \)
\( = \displaystyle \int_0^1 x^{n+1} e^x dx = \int_0^1 x^{n+1} \left( e^x \right)' dx \)
\( = \displaystyle \left[ x^{n+1} e^x \right]_0^1 - \int_0^1 (n+1)x^n e^x dx \)
\( = e - (n+1)a_n \)
すなわち
\( a_{n+1} = e - (n+1)a_n \ \cdots \ (*) \)
が成り立つ． 一方，(1)と同じ方法で示した \( \displaystyle a_n < \frac{e}{n+1} \) の \( n \) を \( n+1 \) に変えた不等式である，
\( \displaystyle a_{n+1} < \frac{e}{n+2} \)
も成り立つ．ここに \( (*) \) を代入して，
\( \displaystyle e - (n+1)a_n < \frac{e}{n+2} \)
\( \displaystyle e-\frac{e}{n+2} < (n+1)a_n \)
\( \displaystyle \frac{n+1}{n+2} e < (n+1)a_n \)
\( \displaystyle \frac{e}{n+2} < a_n \)
よって，与えられた不等式が成り立つといえる．
※注意
\( \displaystyle a_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x dx \ \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots ) \)
のような「\( \tan x \) の累乗」の形の定積分は，漸化式を作るために「部分積分」はしない例である．詳細は参考書等を参照してほしい．
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