HOME| Imasen| Column| Others

-Imasen- 第2期

第1回 定積分と不等式 〜その3〜

 

問題1(2) 漸化式を利用する

\(n\) を自然数として,

\( \displaystyle a_n = \int_0^1 x^n e^x dx \)

とする.次の不等式を示せ.

(2) \( \displaystyle \frac{e}{n+2} < a_n < \frac{e}{n+1} \) (京都産業大)

 

ここでは,考え方を示すにとどめる.解答は各自作ってほしい.

 

<考え方>

示すべき不等式の右側は(1)と同じなので,その考え方を使えばよい.ところが左側はそうはいかない.

この問題の \( \{ a_n \} \) のように,定積分を用いて一般項が表された数列は,漸化式を作るとよい.ほとんどの場合,その方法は部分積分法である.

ここでは,\( a_{n+1} \) と \( a_n \) の関係を求めてみよう.

\( a_{n+1} \)

\( = \displaystyle \int_0^1 x^{n+1} e^x dx = \int_0^1 x^{n+1} \left( e^x \right)' dx \)

\( = \displaystyle \left[ x^{n+1} e^x \right]_0^1 - \int_0^1 (n+1)x^n e^x dx \)

\( = e - (n+1)a_n \)

すなわち

\( a_{n+1} = e - (n+1)a_n \ \cdots \ (*) \)

が成り立つ. 一方,(1)と同じ方法で示した \( \displaystyle a_n < \frac{e}{n+1} \) の \( n \) を \( n+1 \) に変えた不等式である,

\( \displaystyle a_{n+1} < \frac{e}{n+2} \)

も成り立つ.ここに \( (*) \) を代入して,

\( \displaystyle e - (n+1)a_n < \frac{e}{n+2} \)

\( \displaystyle e-\frac{e}{n+2} < (n+1)a_n \)

\( \displaystyle \frac{n+1}{n+2} e < (n+1)a_n \)

\( \displaystyle \frac{e}{n+2} < a_n \)

よって,与えられた不等式が成り立つといえる.

 

※注意

\( \displaystyle a_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x dx \ \ \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots ) \)

のような「\( \tan x \) の累乗」の形の定積分は,漸化式を作るために「部分積分」はしない例である.詳細は参考書等を参照してほしい.

 

〜その4〜(解答編)へ

〜その2〜(解答編)へ

 

HOME| Imasen| Column| Others

Copyright (C) 2004- imasen, All rights reserved.