第1回 定積分と不等式 〜その２〜
問題１(1) パーツに分ける
\(n\) を自然数として，
\( \displaystyle a_n = \int_0^1 x^n e^x dx \)
とする．次の不等式を示せ．
(1) \( \displaystyle \frac{1}{n+1} < a_n < \frac{e}{n+1} \) （山形大）
＜考え方＞
被積分関数の \( x^n e^x \) が2つの関数 \( x^n \)，\( e^x \) の積であるとみて（＝パーツに分けて），次の2つの定積分の値を比較してみよう．
（ア） \( \displaystyle \int_0^1 x^n dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} \)
（イ） \( \displaystyle \int_0^1 e^x dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e-1 \)
これらのうち，示すべき不等式により近いほうは（ア）であり，
\( \displaystyle 1 \cdot \int_0^1 x^n dx < \int_0^1 x^n e^x dx < e \cdot \int_0^1 x^n dx \)
が言えればよい．ということは積分する前の不等式として，
\( 0 \leq x \leq 1 \) において \( \displaystyle x^n \leq x^n e^x \leq ex^n \)
が言えればよく，そのためにはさらに，
\( 0 \leq x \leq 1 \) において \( \displaystyle 1 \leq e^x \leq e \)
が言えればよい．この不等式は，\( y=e^x \) のグラフさえ描けば成り立つことはすぐにわかる．この考え方から解答を作ると，次のようになる．
（解答）
\( 0 \leq x \leq 1 \) において \( y=e^x \) は単調増加であるから
\( \displaystyle e^0 \leq e^x \leq e^1 \) すなわち \( \displaystyle 1 \leq e^x \leq e \)
であり，辺々に \( x^n (\geq 0) \) をかけて
\( \displaystyle x^n \leq x^n e^x \leq ex^n \)
これらの辺々を \( 0 \leq x \leq 1 \) で積分して
\( \displaystyle 1 \cdot \int_0^1 x^n dx < \int_0^1 x^n e^x dx < e \cdot \int_0^1 x^n dx \)
であり
\( \displaystyle \int_0^1 x^n dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} \)
であることより
\( \displaystyle \frac{1}{n+1} < a_n < \frac{e}{n+1} \)
が成り立つことが示された．（終）
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