HOME| Imasen| Column| Others

-Imasen- 第2期

第1回 定積分と不等式 〜その2〜

 

問題1(1) パーツに分ける

\(n\) を自然数として,

\( \displaystyle a_n = \int_0^1 x^n e^x dx \)

とする.次の不等式を示せ.

(1) \( \displaystyle \frac{1}{n+1} < a_n < \frac{e}{n+1} \) (山形大)

 

<考え方>

被積分関数の \( x^n e^x \) が2つの関数 \( x^n \),\( e^x \) の積であるとみて(=パーツに分けて),次の2つの定積分の値を比較してみよう.

(ア) \( \displaystyle  \int_0^1 x^n dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} \)

(イ) \( \displaystyle  \int_0^1 e^x dx = \left[ e^x \right]_0^1 = e-1 \)

これらのうち,示すべき不等式により近いほうは(ア)であり,

\( \displaystyle 1 \cdot \int_0^1 x^n dx < \int_0^1 x^n e^x dx < e \cdot \int_0^1 x^n dx \)

が言えればよい.ということは積分する前の不等式として,

\( 0 \leq x \leq 1 \) において \( \displaystyle x^n \leq x^n e^x \leq ex^n \)

が言えればよく,そのためにはさらに,

\( 0 \leq x \leq 1 \) において \( \displaystyle 1 \leq e^x \leq e \)

が言えればよい.この不等式は,\( y=e^x \) のグラフさえ描けば成り立つことはすぐにわかる.この考え方から解答を作ると,次のようになる.

 

(解答)

\( 0 \leq x \leq 1 \) において \( y=e^x \) は単調増加であるから

\( \displaystyle e^0 \leq e^x \leq e^1 \) すなわち \( \displaystyle 1 \leq e^x \leq e \)

であり,辺々に \( x^n (\geq 0) \) をかけて

\( \displaystyle x^n \leq x^n e^x \leq ex^n \)

これらの辺々を \( 0 \leq x \leq 1 \) で積分して

\( \displaystyle 1 \cdot \int_0^1 x^n dx < \int_0^1 x^n e^x dx < e \cdot \int_0^1 x^n dx \)

であり

\( \displaystyle  \int_0^1 x^n dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_0^1 = \frac{1}{n+1} \)

であることより

\( \displaystyle \frac{1}{n+1} < a_n < \frac{e}{n+1} \)

が成り立つことが示された.(終)

 

〜その3〜(解答編)へ

〜その1〜(問題編)へ

 

HOME| Imasen| Column| Others

Copyright (C) 2004- imasen, All rights reserved.