イマセン第19回　必要なものだけ残せ　～その６～

解答２．(2)　CQ:QB = 9:8

解説２．(2)

　CQ:QB を求めたいわけだから、とりあえず直線 CB を太く塗ってみる（図2-(2)-1）。

　ここからが少し難所。線分の長さや比が話題になっているので、まずはそれが登場する定理を全て挙げてみる。すると、

　　　角の２等分線の性質　（補足１．）

　　　チェバの定理・メネラウスの定理　（補足２．）

　　　円外から引いた２本の接線　（補足５．）

　　　方べきの定理　（補足６．）

　であり、結構多い。ただし今回使えないものもすぐに消去できる。

　　　×　角の２等分線の性質　→　２等分されている角がない。

　　　×　円外から引いた２本の接線　→　接線が２本は引かれていない（引かれているのは AB の１本だけ）。

　　　×　方べきの定理　→　点 Q が、「円と直線の交点」ではない。

　したがって消去法で「チェバの定理・メネラウスの定理」ということになるのだが、そういう目で元の図をじっと見ていると、次の図2-(2)-2のような太線が浮かぶだろうか。ただし、OB と AQ の交点を P とした。

　つまりこれは、メネラウスの定理である。ただしメネラウスの定理は、見方によって次の図2-(2)-3と図2-(2)-4の２通りの使い方があり、今回はどちらが使えるのかをさらに見極めないといけない。

　違いは、「線分 AQ」か「線分 OB」かということである。どちらかの線分について、長さの情報が分かればよい。