イマセン第17回 条件を言い換える〜2〜

 

解答1. (1)   (2) 

 

解説1.

 2次方程式や2次不等式は、2次関数のグラフで考える。グラフが 軸と交点を何個持つかにより、解が変わってくる。そこで登場するのが「判別式」である。

 

 2次関数 について、判別式 を  と定める。

 

 この判別式 の符号により、 のグラフと 軸との位置関係が変わってくる。

 (ア)  のとき、グラフは 軸と異なる2点で交わる。
 (イ)  のとき、グラフは 軸と1点で交わる(接する)。
 (ウ)  のとき、グラフは 軸と交わらない。

判別式と放物線

 これを利用して、問題を解いていこう。

(1) 2次不等式  が解を持つためには、

  2次関数 軸と異なる2点で交わればよいから、条件は である。

 ※上図の太線部にある が解。(ア)の場合のみ解が存在する。

  
  これを解いて、

 

(2) 2次不等式  の解がすべての実数であるためには、

  2次関数 軸と交わらなければよいから、条件は である。

 ※上図の太線部にある が解。(ウ)の場合のみすべての実数が解である。

  
  これを解いて、

 

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