イマセン第17回 条件を言い換える〜2〜
解答1. (1) (2)
解説1.
2次方程式や2次不等式は、2次関数のグラフで考える。グラフが 軸と交点を何個持つかにより、解が変わってくる。そこで登場するのが「判別式」である。
2次関数 について、判別式 を と定める。
この判別式 の符号により、 のグラフと 軸との位置関係が変わってくる。
(ア) のとき、グラフは 軸と異なる2点で交わる。
(イ) のとき、グラフは 軸と1点で交わる(接する)。
(ウ) のとき、グラフは 軸と交わらない。
これを利用して、問題を解いていこう。
(1) 2次不等式 が解を持つためには、
2次関数 が 軸と異なる2点で交わればよいから、条件は である。
※上図の太線部にある が解。(ア)の場合のみ解が存在する。
これを解いて、
(2) 2次不等式 の解がすべての実数であるためには、
2次関数 が 軸と交わらなければよいから、条件は である。
※上図の太線部にある が解。(ウ)の場合のみすべての実数が解である。
これを解いて、
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