HOME| Imasen| Column| Others

-Imasen- 第2期

第1回 定積分と不等式 〜その5〜

 

問題3 接線と割線の利用(お茶の水女子大)

\(a,\ b\) を実数とし,\(a<b\) とする.関数 \(f(x)\) は閉区間 \([a,\ b]\) で連続,開区間 \((a,\ b)\) で少なくとも2回微分可能で,\(f''(x) \geq 0\) とする.

(1) \(a<c<b\) とする.\(y=g(x)\) を点 \((c,\ f(c))\) における \( y=f(x) \) の接線とする.\(a \leq x \leq b\) のとき,\(g(x) \leq f(x)\) を示せ.

(2) \(y=h(x)\) を,\((a,\ f(a))\),\((b,\ f(b))\) の2点を通る直線とする. \(a \leq x \leq b\) のとき,\(h(x) \geq f(x)\) を示せ.

(3) \(a<c<b\) とする.

\( \displaystyle \frac{1}{2}(b-a)(f'(c)(a+b-2c)+2f(c)) \leq \int_a^b f(x)dx \leq \frac{1}{2}(f(a)+f(b))(b-a)\)

を示せ.

(4)

\( \displaystyle \frac{\pi}{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \leq \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\cos x} dx \leq \frac{\pi}{4} \left(1+\frac{1}{e} \right) \)

を示せ.

 

 

<考え方>

ここからは簡単に.

(3)

\( \displaystyle \int_a^b g(x) dx = \frac{1}{2}(b-a)(f'(c)(a+b-2c)+2f(c)) \)

\( \displaystyle \int_a^b h(x) dx = \frac{1}{2}(f(a)+f(b))(b-a) \)

であることを,各自確認してほしい.

(4) \( \displaystyle f(x) =e^{-\cos x} \) とおくと,

\( \displaystyle f'(x) = e^{-\cos x} \cdot \sin x \) および \( \displaystyle f''(x) = e^{-\cos x} ( \sin^2 x + \cos x ) \)

であり,\( \displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \) においては \( f''(x) \geq 0 \) であることがわかる.

よって(3)で示した等式において,\( \displaystyle a=0,\ b=\frac{\pi}{2}\) とし,さらに \( \displaystyle c = \frac{\pi}{4} \) とすると,

\( \displaystyle \frac{\pi}{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \leq \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\cos x} dx \leq \frac{\pi}{4} \left(1+\frac{1}{e} \right) \)

が導ける.

 

<まとめ>

定積分の値を評価する方法は,

● パーツに分ける ・・・ 問題1(1)

● 漸化式の利用 ・・・ 問題1(2)

● ジョルダンの不等式の利用 ・・・ 問題2

● 接線と割線の利用 ・・・ 問題3

などの方法がある.ほとんどの場合は最初の「パーツに分ける」ことで済んでしまうが,それ以外の方法もあることを確認しておいてほしい.

 

-Imasen- TOP へ

〜その5〜(解答編)へ

 

HOME| Imasen| Column| Others

Copyright (C) 2004- imasen, All rights reserved.