定積分と不等式　その１

-Imasen-　第2期

第1回　定積分と不等式　～その１～

定積分そのもの値は求められないため，それを「評価する」問題，つまり「定積分の値が満たす範囲を求める」問題がある．

頻出ではあるが，苦手とする人が多い．

今回は，どのようにして評価をするのか，いろいろな例を見ていこうと思う．

問題１

\(n\) を自然数として，

\( \displaystyle a_n = \int_0^1 x^n e^x dx \)

とする．次の不等式を示せ．

(1) \( \displaystyle \frac{1}{n+1} < a_n < \frac{e}{n+1} \) （山形大）

(2) \( \displaystyle \frac{e}{n+2} < a_n < \frac{e}{n+1} \) （京都産業大）

問題２（大阪教育大）

(1) \( \displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \) に対して，\( \displaystyle e^{-x} \leq e^{-\sin x} \leq e^{-\frac{2x}{\pi}}\) を示せ．

(2) \( \displaystyle 1-\frac{1}{e} < \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\sin x} dx < \frac{\pi}{2} \left( 1-\frac{1}{e} \right) \) を示せ．

問題３（お茶の水女子大）

\(a,\ b\) を実数とし，\(a<b\) とする．関数 \(f(x)\) は閉区間 \([a,\ b]\) で連続，開区間 \((a,\ b)\) で少なくとも2回微分可能で，\(f''(x) \geq 0\) とする．

(1) \(a<c<b\) とする．\(y=g(x)\) を点 \((c,\ f(c))\) における接線とする．\(a \leq x \leq b\) のとき，\(g(x) \leq f(x)\) を示せ．

(2) \(y=h(x)\) を，\((a,\ f(a))\)，\((b,\ f(b))\) の2点を通る直線とする． \(a \leq x \leq b\) のとき，\(h(x) \geq f(x)\) を示せ．

(3) \(a<c<b\) とする．

\( \displaystyle \frac{1}{2}(b-a)(f'(c)(a+b-2c)+2f(c)) \leq \int_a^b f(x)dx \leq \frac{1}{2}(f(a)+f(b))(b-a)\)

を示せ．

(4)

\( \displaystyle \frac{\pi}{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \leq \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\cos x} dx \leq \frac{\pi}{4} \left(1+\frac{1}{e} \right) \)

を示せ．