イマセン第21回 動くものがたくさんあるときは 〜その３〜
次に、計算で行く解法を紹介しよう。ベクトルを用いるのが一番だろう。
解答１．（解２・計算で行く解法）
，
，
とおく。このとき
，
である。
点 P が辺 AB 上、点 Q が 辺 OC 上をそれぞれ動くことから、
ただし 
ただし 
と表せる。よって、
= 
= 
= 
と表せる。このとき、
= 
=
=
=
となる。
ここで 
とおくと、
=
=
であり、
，
であることから 
の最小値は
である。
したがって、PQ=
の最小値は
= 
となる。
見た目こそややこしくなったが、これは単なる「2変数関数の最大最小」の問題である。
の最小値を考えるときに少々荒っぽくやってしまったが、もう少し丁寧にやると次のようになる。
=
・・・ まずは 
を固定し、
だけの関数と考えて平方完成
= 
・・・ この式から 
のとき最小値 
をとるとわかる。
=
・・・ 次に、 
を 
の関数と考えて平方完成
=
・・・ この式から 
のとき最小値 
をとるとわかる。
つまり、
「まずは 
を固定し、
だけ動かす」 → 「次に 
を動かす」
という点で、結局ここでも「動くものを1つだけにする」という考え方が登場している。
また、
，
で最小になるということは、それぞれ、「点 P が辺 AB の中点」「点 Q が辺 OC
の中点」にあるときが最小である、ということを表していて、これは解１で図形的に考えたときと同じ結果である。
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