三角形の形状決定　～その４～

　補足編：

　以上のことを、某校舎で一緒になるF先生にお話しした。F先生と私は、それぞれ違う校舎で同じテキストを担当していて、以前「この問題、三角比の方法で解けないですかね」と話していたのだ。今回のテーマは、その話の中から生まれたと言える。

　「全部 cos に直すとできました。でも、全部展開したら壮絶な式になっちゃって・・・、もっとスマートにできるといいんですけど」

　と言ったら、F先生が示してくれた解答は次の通りだ。まず、両辺それぞれを因数分解するところから始める。もちろんそれでも計算量は多いが、それでも私の方法よりはずっと楽だ。さすがだ。

　解答：

　に余弦定理を代入した

　　　　　・・・(***)

　において、

　　　　左辺の( )の中

　となる。この式の分子は因数分解できて、

　　　　分子

　となる。したがって、

　　　　左辺　・・・(1)

　となる。一方右辺について、

　　　　右辺　・・・(2)

　となる。(1)(2)を(***)に代入して、

　分母を払い、さらに両辺をで割ると、

　したがって、

　　　　　または　

　となる。