「考える」と「覚える」のバランス

　先日、生徒の一人が質問に来た問題で、計算の最後に の値が必要となるものがあった。

　数学２の三角関数を一通り学んだ人なら分かると思うが、この値は「加法定理（およびそれに関連する倍角・半角）」を使わなければ求められない。

　彼がどのようにするかを、あえて口出しせずに見守っていると、 と考え、半角の公式を使うことにしたようだ。だが残念なことに、その正確な式を忘れてしまっていた。

　そこで彼は次のよう考えた。

　１．tan の加法定理を用いる

　　まず最初に、tan の加法定理の公式

　　は覚えていたので、 として

　　を導く（これは tan の2倍角の公式そのもの）。

　　ここに として、

　とし、彼なりの「半角の公式」を作った。ここで筆者はすかさず、

　「確かに とすればよさそうだけど、そうすると の値が分からないと使えなくない？（もちろんそんな値はすぐには分からない）」

　と突っ込む。だがしかし、「2倍角を用いて半角を作る」というのは sin や cos の半角の公式を作る方法そのものなので、やりたいことは伝わる。

　２．ヒントを出す

　そこで筆者は、「 だよね」とヒントを出してみる。

　すると彼は cos の2倍角の公式から、sin と cos の半角の公式 ， を導き出し、

　として、「正式な」半角の公式を作った。

　３． の値から求める

　tan の半角の公式は完成。晴れて とし、まずは の値から求める。

　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　・・・彼は繁分数式の計算がきちんとできた。

　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　・・・分母の有理化。2乗の展開はしないほうがいいと彼にアドバイス。

　４． の値を求める

　　　 　かつ　　より、

　これで完成。ところが次のようにするほうが少し早いし、細かいことを気にしなくても済む。

　tan の加法定理の１つである において ， として、

　彼には最後にこのことをアドバイスすると、「そうか〜！」と納得して去っていった。

　自分でやり方を考え付く、というのは素晴らしいこと。これを続けていると、数学の力が格段に伸びることは間違いない。だから彼のやり方は全然悪くないのだが、一方で、試行錯誤している分時間を食うことも確かだ。

　昔の筆者も「考える」ことだけにこだわりすぎて、問題を解くときにいちいち公式から作っていた。もちろんその作業が今の仕事につながっているのだが、当時はそれで時間が掛かりすぎて、試験中では制限時間内に解ききれないなどということもあった。またその都度解法を新たに考えるので、全体的に見て解法の統一感がなかった。

　自分のやり方にこだわるのは大いに結構なことだけれど、やり方の決まっているものはいっそのこと、四の五の考えずにまずはそれに従ってみる、というのもまた大事なことである。

　まず先にやり方を「覚えて」しまい、その後で改めて自分のやり方を「考えて」みる。「覚える」だけだと苦痛なだけで面白くないし、「考える」だけでもやたらと時間を食う。両方のバランスを適度に保つことが大事なのではないだろうか。

(2007.05.09)

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