直交行列による対称行列の対角化（その２）

Step2　行列Bによって表現される二次曲線

　行列 は対角化されて行列 になった。そこでとりあえずとして、行列 により表現される二次曲線がどのようなものなのかを考えてみる。

であったから、　すなわち　　となり、これは焦点，長軸，短軸2の楕円の標準形である。行列 が対角化できた（ とできた）ことで、二次曲線の特徴が非常に良く捉えられた。

Step3　行列Aによって表現される二次曲線

　さらに と との関係を求めよう。　であったことより

となる。ただし3番目から4番目への変形は、

であることによる。この変形により、

であるといえて、さらにこの式により、 の世界で基本のベクトルであるとが、 の世界ではどのようなベクトルなのかが分かる（注）。

 　，　　

すなわち、Step1で求めた2つの固有ベクトルそのものを基本のベクトルとして、新たな座標軸と考えたということである。この新たな座標軸のもとでは、二次曲線はによって表される。

Step4　行列Pの特徴

　最後に行列Pの特徴について考えよう。

と書ける。これは、 が原点を中心としたの回転移動であることを表している。をととみなす、ということは座標軸が回転したということである。

 　　→　　

　したがってStep3で得られた事実を言い換えれば、楕円を原点を中心に回転させれば、二次曲線を表す、ということである。そしてその とは、行列 を作ることで分かってしまう。実質、行列 を作った時点で２次曲線の特徴が、「回転」という非常に視覚的な操作によりきちんと捉えられる、ということなのだ。

　実は、以下のfactが成り立つ。

＜fact＞

として対称行列 を対角化したとする。このとき、

●と、回転行列の形に表すことができる。

●二次曲線　　は、原点を中心に標準形　　をθだけ回転させたものである。

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