Gauss-Greenの定理の証明

Step 1　符号つき面積

Oを原点とする座標平面上の△OABに対し、原点から見てO(0, 0), A(a, b), B(c, d)が「左回りのとき正、右回りのとき負」・・・（＊）となるような△OABの面積を「符号つき面積」とよぶ。これをSとすると、

が成立する。

（証明）

OA, OBの長さをそれぞれ，A, Bの偏角をそれぞれ　とする。ただし、，  とする。

このとき、

とすれば条件（＊）を満たす。

ここで

　　A，B

と表されることを利用して、

               ■

Step 2　Gauss-Greenの定理

　上の関数によって表される点P　が座標平面上でAからB　まで、原点から見て左回りに動くときに描く曲線をとする。曲線，線分OA，および線分OBによって囲まれる図形の面積をとするとき、

が成立する。Pが右回りに動くときも同じ式で面積を定める。このとき面積は負となる。

（証明）

に対する増分をそれぞれ　とすれば、Step1で示した符号つき面積の式より、

と近似できるから、

と表せる。

したがって、　とすれば、

である。よって

が成り立つ。■

パラメータ表示された閉曲線の内部の面積は、それが原点を内部に含んでいても、外部にあっても、符号つき面積の意味、およびこの定理によりすべて求められる。

　原点を内部に含む場合、曲線  は原点から見てつねに左回りに進む。

　原点が外部にある場合、原点から曲線 に接線を 2 本引き、接点を図のように P1，P2 とおく。

　　　　P1 → P2 → P1

　のように点 P が進むとし、さらに

　　　　 = ( の P1 → P2 の部分と直線 OP1，OP2 により囲まれる部分の符号つき面積）
　　　　 = ( の P2 → P1 の部分と直線 OP1，OP2 により囲まれる部分の符号つき面積）

　と定めれば、

　　　　 =
            =
            =

　と表される。

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