カージオイドとサイクロイド 〜その3〜

 

 そこで,極方程式 で表されるカージオイドを,次の3手順で変形した.

 

  (1) 原点 O を中心に 2 倍に拡大

    このとき,絶対値が 2 倍になるので,その図形の極方程式は

         

    となる.

 

  (2) (1)で得られた図形を,y 軸に関して対称移動

    新たな図形で「偏角が であるときの絶対値」は,元の図形で「偏角が であるときの絶対値」である.

    文章で表現するといまいちだが,下の図を見てくれれば分かりやすいだろう.

    つまり, の代わりに を代入することにより,その図形の極方程式は,

         

    となる.

 

  (3) (2)で得られた図形を,x 軸方向に +1 平行移動

    ここからは極方程式をやめ,x 座標と y 座標を の式で媒介変数表示することを考える.

           

    であるから,x の値を +1 することにより,その図形の媒介変数表示は,

          

    となる.

 

 そしてこれで実は,その図形がサイクロイドに一致するのである.なぜならば三角関数の 2 倍角の公式より,

         
          
                ( ∵ )

         
          
                ( ∵ )

 となるからである.これでとりあえずの目標には到達した.

 

 なぜ(1)〜(3)の変形をしてみようと思ったかと言えば・・・,そう思ったからとしか言いようがない・・・(^^;

 

 さて,これで式変形としての証明は完了した.最後に図形的に証明する方法の概要も紹介しておこう.

 

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