で表されるカージオイドを，次の３手順で変形した．カージオイドとサイクロイド 〜その３〜
そこで，極方程式 で表されるカージオイドを，次の３手順で変形した．
(1) 原点 O を中心に 2 倍に拡大
このとき，絶対値が 2 倍になるので，その図形の極方程式は
となる．
(2) (1)で得られた図形を，y 軸に関して対称移動
新たな図形で「偏角が 
であるときの絶対値」は，元の図形で「偏角が 
であるときの絶対値」である．
文章で表現するといまいちだが，下の図を見てくれれば分かりやすいだろう．
つまり，
の代わりに 
を代入することにより，その図形の極方程式は，
となる．
(3) (2)で得られた図形を，x 軸方向に +1 平行移動
ここからは極方程式をやめ，x 座標と y 座標を 
の式で媒介変数表示することを考える．
であるから，x の値を +1 することにより，その図形の媒介変数表示は，
となる．
そしてこれで実は，その図形がサイクロイドに一致するのである．なぜならば三角関数の 2 倍角の公式より，
( ∵ 
)
( ∵ 
)
となるからである．これでとりあえずの目標には到達した．
なぜ(1)〜(3)の変形をしてみようと思ったかと言えば・・・，そう思ったからとしか言いようがない・・・(^^;
さて，これで式変形としての証明は完了した．最後に図形的に証明する方法の概要も紹介しておこう．
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