第1回 定積分と不等式 〜その５〜
問題３ 接線と割線の利用（お茶の水女子大）
\(a,\ b\) を実数とし，\(a<b\) とする．関数 \(f(x)\) は閉区間 \([a,\ b]\) で連続，開区間 \((a,\ b)\) で少なくとも2回微分可能で，\(f''(x) \geq 0\) とする．
(1) \(a<c<b\) とする．\(y=g(x)\) を点 \((c,\ f(c))\) における \( y=f(x) \) の接線とする．\(a \leq x \leq b\) のとき，\(g(x) \leq f(x)\) を示せ．
(2) \(y=h(x)\) を，\((a,\ f(a))\)，\((b,\ f(b))\) の2点を通る直線とする． \(a \leq x \leq b\) のとき，\(h(x) \geq f(x)\) を示せ．
(3) \(a<c<b\)
とする．
\( \displaystyle \frac{1}{2}(b-a)(f'(c)(a+b-2c)+2f(c)) \leq \int_a^b f(x)dx \leq \frac{1}{2}(f(a)+f(b))(b-a)\)
を示せ．
(4)\( \displaystyle \frac{\pi}{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \leq \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\cos x} dx \leq \frac{\pi}{4} \left(1+\frac{1}{e} \right) \)
を示せ．
＜考え方＞
ここからは簡単に．
(3)
\( \displaystyle \int_a^b g(x) dx = \frac{1}{2}(b-a)(f'(c)(a+b-2c)+2f(c)) \)
\( \displaystyle \int_a^b h(x) dx = \frac{1}{2}(f(a)+f(b))(b-a) \)
であることを，各自確認してほしい．
(4) \( \displaystyle f(x) =e^{-\cos x} \) とおくと，
\( \displaystyle f'(x) = e^{-\cos x} \cdot \sin x \) および \( \displaystyle f''(x) = e^{-\cos x} ( \sin^2 x + \cos x ) \)
であり，\( \displaystyle 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2} \) においては \( f''(x) \geq 0 \) であることがわかる．
よって(3)で示した等式において，\( \displaystyle a=0,\ b=\frac{\pi}{2}\) とし，さらに \( \displaystyle c = \frac{\pi}{4} \) とすると，
\( \displaystyle \frac{\pi}{2} e^{-\frac{1}{\sqrt{2}}} \leq \int_0^\frac{\pi}{2} e^{-\cos x} dx \leq \frac{\pi}{4} \left(1+\frac{1}{e} \right) \)
が導ける．
＜まとめ＞
定積分の値を評価する方法は，
● パーツに分ける ・・・ 問題１(1)
● 漸化式の利用 ・・・ 問題１(2)
● ジョルダンの不等式の利用 ・・・ 問題２
● 接線と割線の利用 ・・・ 問題３
などの方法がある．ほとんどの場合は最初の「パーツに分ける」ことで済んでしまうが，それ以外の方法もあることを確認しておいてほしい．
Copyright (C) 2004- imasen, All rights reserved.