イマセン第21回 動くものがたくさんあるときは 〜その6〜

 

 「まずは動くものを1つだけにして、他のものはいったん固定する」

 という考え方、実感していただけただろうか。

 

 ところで今回の問題1では、正四面体という対称性があったからこそ、図形的に解くことができた(すなわち、点 Q をどこにとったとしても、PQ の長さを最小にする点 P の位置は変わらないということ)。

 もしもその対称性が崩れてしまった場合、図形的な考察は困難となる。参考までに次の問題を最後に挙げておこう。ベクトルを用いて解いてほしい。略解も載せておく。

 

 問題. OA=OB=OC= である四面体 O-ABC がある。 とおくとき、次の問いに答えよ。

  (1) 内積 , ,  を求めよ。

  (2) 辺 AB 上を点 P が、辺 OC 上を点 Q がそれぞれ動くとき、線分 PQ の長さの最小値を求めよ。

  (3) (2)における線分 PQ の長さが最小になるとき,PQ⊥AB,PQ⊥OC が成り立つことを示せ。

   

 略解

  (1) , 

  (2) 問題1と同様に をおいて、 を計算すると、

        =

    である。 とおくと、

       

   と平方完成できる。 であることから

        すなわち 

   のとき  の最小値は

        

   である。したがって、PQ= の最小値は

         =

   である。

  (3) (2)の結果より、

      

   と表され、,  であることが計算によって確かめられる。

   したがって、PQ⊥AB,PQ⊥OC が成り立つ。

 

 ※(2)の結果は、

   「 を最小にする の値が によって決まる」

  すなわち

   「PQ の長さを最小にする点 P の位置が、点 Q の位置によって変わる」

  ことを表している。このことが、この問題に対する図形的な考察を難しくしている。

 

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