，
，
である四面体 O-ABC がある。
，
，
とおくとき、次の問いに答えよ。イマセン第21回 動くものがたくさんあるときは 〜その６〜
「まずは動くものを１つだけにして、他のものはいったん固定する」
という考え方、実感していただけただろうか。
ところで今回の問題１では、正四面体という対称性があったからこそ、図形的に解くことができた（すなわち、点 Q をどこにとったとしても、PQ の長さを最小にする点 P の位置は変わらないということ）。
もしもその対称性が崩れてしまった場合、図形的な考察は困難となる。参考までに次の問題を最後に挙げておこう。ベクトルを用いて解いてほしい。略解も載せておく。
問題． OA=OB=OC= ，， である四面体 O-ABC がある。，， とおくとき、次の問いに答えよ。
(1) 内積 
， 
， 
を求めよ。
(2) 辺 AB 上を点 P が、辺 OC 上を点 Q がそれぞれ動くとき、線分 PQ の長さの最小値を求めよ。
(3) (2)における線分 PQ の長さが最小になるとき，PQ⊥AB，PQ⊥OC が成り立つことを示せ。
略解
(1) 
， 
(2) 問題１と同様に 
をおいて、
を計算すると、
= 
である。
とおくと、
と平方完成できる。
，
であることから
すなわち 
のとき 
の最小値は
である。したがって、PQ=
の最小値は
= 
である。
(3) (2)の結果より、
と表され、
， 
であることが計算によって確かめられる。
したがって、PQ⊥AB，PQ⊥OC が成り立つ。
※(2)の結果は、
「
を最小にする 
の値が 
によって決まる」
すなわち
「PQ の長さを最小にする点 P の位置が、点 Q の位置によって変わる」
ことを表している。このことが、この問題に対する図形的な考察を難しくしている。
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