イマセン第21回 動くものがたくさんあるときは 〜その3〜
次に、計算で行く解法を紹介しよう。ベクトルを用いるのが一番だろう。
解答1.(解2・計算で行く解法)
,, とおく。このとき
,
である。
点 P が辺 AB 上、点 Q が 辺 OC 上をそれぞれ動くことから、
ただし
ただし
と表せる。よって、
=
=
=
と表せる。このとき、
=
=
=
=
となる。
ここで とおくと、
=
=
であり、, であることから の最小値は
である。
したがって、PQ= の最小値は
=
となる。
見た目こそややこしくなったが、これは単なる「2変数関数の最大最小」の問題である。
の最小値を考えるときに少々荒っぽくやってしまったが、もう少し丁寧にやると次のようになる。
=
・・・ まずは を固定し、 だけの関数と考えて平方完成
= ・・・ この式から のとき最小値 をとるとわかる。
=
・・・ 次に、 を の関数と考えて平方完成
=
・・・ この式から のとき最小値 をとるとわかる。
つまり、
「まずは を固定し、 だけ動かす」 → 「次に を動かす」
という点で、結局ここでも「動くものを1つだけにする」という考え方が登場している。
また、, で最小になるということは、それぞれ、「点 P が辺 AB の中点」「点 Q が辺 OC の中点」にあるときが最小である、ということを表していて、これは解1で図形的に考えたときと同じ結果である。
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